La música a través de la teoría matemática

Por Yureli Cacho Carranza

México, DF. 12 de octubre de 2015 (Agencia Informativa Conacyt).- El doctor en Ciencias Matemáticas, Octavio Alberto Agustín Aquino, especialista en musicología matemática es coautor del primer libro dedicado a la teoría computacional de contrapunto Computational Counterpoint Worlds. Mathematical theory, software and experiments, que podría traducirse como «Mundos de contrapunto computacionales. Teoría matemática, programas o sistemas informáticos y experimentos».

En el volumen, sus tres autores reúnen las perspectivas y el desarrollo reciente acerca de la teoría matemática del contrapunto en detalle, comentó el autor mexicano quien es profesor asociado e investigador en la Universidad de la Cañada, en Oaxaca.

El resumen de la obra versa que la teoría matemática del contrapunto originalmente estaba destinada a simular las reglas de composición descritas en el tratado de contrapunto Gradus ad Parnassum del compositor y teórico musical Johann Joseph Fux (1660-1741) en 1725 durante el Siglo de las Luces o la Ilustración. Pronto se hizo evidente que el aparato algebraico usado en este modelo podía servir para definir sistemas enteramente nuevos de reglas para la composición, generados por nuevas elecciones de consonancias y disonancias que, a su vez, conducen a nuevas restricciones que gobiernan la sucesión de intervalos.

La sinopsis agrega que los autores incluyen resultados recientes sobre mundos de contrapunto, la extensión del contrapunto a sistemas de afinación microtonal, la homología singular de los modelos de contrapunto y la implementación de programas informáticos para los modelos de contrapunto. Un buen dominio del álgebra es requisito para comprender la construcción del modelo que se presenta en el ejemplar, por lo que resulta apropiado sobre todo para estudiantes de posgrado e investigadores.

Para explicar acerca de la importancia de esta obra, el también licenciado en Matemáticas Aplicadas y exbecario del Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (Conacyt) en la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM), concedió una entrevista para la Agencia Informativa Conacyt.

Agencia Informativa Conacyt (AIC): ¿Cómo inició su interés por la musicología matemática?

Octavio Alberto Agustín Aquino (OAAA): Tal vez lo tengo desde que estaba en la secundaria y aprendí a tocar la guitarra, inclusive hice el examen de ingreso a la Escuela Nacional de Música, pero por diversas razones ya no pude estudiar para instrumentista. Sin embargo, lo sentí más patente cuando, mientras estudiaba el primer año de la licenciatura, leí el Tratado de Armonía de Arnold Schoenberg, porque la estructura de las transiciones armónicas tiene un aire fuertemente matemático.

Sin embargo, lo que a mí siempre me gustó fue el contrapunto, así que conseguí el Gradus ad Parnassum de Johann Joseph Fux y traté de reconstruirlo matemáticamente pero sin demasiado éxito. De todas maneras, Guerino Mazzola (otro de los autores del libro) ya había logrado modelar tanto la armonía como el contrapunto en su libro Geometrie der Töne.

Desde la licenciatura quise hacer mi tesis sobre este tema pero ninguno de mis profesores de la universidad se animó a asesorarme por considerarlo un campo de estudio poco serio y valioso. Fue el doctor en Matemática Emilio Lluis Puebla, catedrático de la UNAM, quien aceptó ser mi director de tesis de maestría y el doctor Guerino Mazzola de doctorado.

AIC: ¿Cuál es la importancia del libro Computational Counterpoint Worlds y a quiénes está dirigido?

Octavio Aquino

OAAA: Es un libro dirigido a matemáticos cuyo objetivo es entender la música como tal. Plantea problemas abiertos, algunos relacionados con el teorema de contrapunto. Aunque esto no se expone de manera detallada en el libro, para ilustrar los puentes que pueden tenderse entre disciplinas puede citarse una conjetura de Hajós sobre factorizaciones de grupos cíclicos finitos de 1948.

Al colaborar con el músico Anatol Vieru, el matemático Dan Tudor Vuza demostró, sin saberlo, que la conjetura de Hajós es falsa, encontrando contraejemplos que, en su honor, se llaman cánones de Vuza. Más aún, si la llamada conjetura de Fuglede es falsa, un contraejemplo viene de un canon de Vuza. Un canon es una composición musical polifónica, donde varias voces cantan una misma melodía pero entrando en diferentes tiempos.

Por otra parte, los compositores siempre están buscando alternativas de expresión y la matemática les brinda infinitas posibilidades de obtenerlas de manera sistemática, que de otra forma tardarían mucho en encontrar. Actualmente, buenos compositores que se precien de serlo tienen idea de la matemática.

Ahora bien, del análisis de la información se pueden extraer patrones, de modo que las computadoras pueden generar música sin necesidad de la intervención humana y eso es lo que se pretende comunicar.

AIC: ¿Música sin necesidad de músicos? ¿Qué tan bueno es eso?

OAAA: Bueno, depende mucho para qué se quiera usar. Puede que no sea de una calidad suprema pero se puede hacer de manera automática. Entender cómo hacen los músicos para improvisar o acompañar melodías e invertir el proceso para ver cómo se acompañaría una melodía de manera automática tiene muchas aplicaciones dentro de la industria musical.

Por ejemplo, se puede automatizar la composición de música para películas porque como están sujetas a edición, puede que la composición musical se altere conforme a la edición de la película que alarga o acorta escenas. Cuando se tienen herramientas matemáticas y computacionales para hacerlo, se puede realizar en automático sin que el compositor tenga que reorganizar todas sus ideas.

AIC: ¿Qué tipo de música es la que más se presta a la musicología?

OAAA: La música de concierto, es decir la occidental o clásica, porque está codificada de manera muy precisa, tiene muchos detalles de la interpretación que permiten hacer un análisis más profundo. Sin embargo, no es privativa de esta, también se puede hacer con otro tipo de música, como la hindú, popular o de otro género.

Cualquier señal que contenga música es susceptible de analizarse de esta manera. Incluso, aun cuando es difícil, es posible sintetizar la voz humana cantada usando modelos ocultos de Márkov, de modo que la computadora puede tomar un texto y generar el audio correspondiente al canto; obviamente es necesario el paso recíproco para que esto funcione. Un par de ejemplos pueden escucharse en este enlace o aquí.

Disc jockey

Por medio de una interfaz (del inglés interface) uno puede tocar y cantar con un instrumento que solo capture la señal y manipular en tiempo real la música. Hay pinchadiscos o disc jockeys en Europa que en lugar de manipular discos en vivo, escriben en la computadora y generan ritmos y melodías con código escrito al vuelo. El doctor Roberto Morales Manzanares hace algo muy semejante en sus conciertos con sus alumnos, como cuando se presentó en el Congreso Internacional de Música y Matemática en Puerto Vallarta en noviembre de 2014.

AIC: ¿Por qué considera que es tan importante la musicología matemática?

OAAA: Que se puedan transformar señales digitales, como es la música electrónica (un caso notable quizá sea el dúo francés Daft Punk), es posible gracias a que se ha aplicado la matemática. Aun cuando la musicología matemática es muy joven como para que tenga aplicaciones en otros campos, seguramente tendrá repercusiones en otras áreas porque finalmente cualquier cosa que involucre el manejo de señales (periódicas, en particular) ha tenido aplicaciones, como lo es el análisis de Fourier.

Comprender siempre aporta algo al disfrute de una obra. Algo que hace atractivo algunos pasajes de la música de Taylor Swift o Lady Gaga es cuando la melodía se repite con una armonización diferente, o cuando se usa un trítono para enfatizar una sílaba. No es algo que específicamente requiera de la matemática pero al menos, en lo personal, me ayuda a apreciar mejor lo que escucho.

AIC: ¿Qué concepción tienen los músicos hacia este tipo de teorías?

OAAA: Los músicos en general no definen bien sus conocimientos, son muy reacios a explicar formalmente las cosas porque piensan que entre más vaga sea una definición más pueden abarcar pero no es así, al no conceptualizar de manera precisa se pierde seriedad y es difícil aprender. Cuando un músico entrena o enseña a otro, lo hace práctica u oralmente sin plasmar sus saberes en papel.

Y aunque se diga que la música no es rigurosa, es una impresión falsa porque las matemáticas son infinitamente específicas. Por lo tanto, es posible capturar la quintaesencia de la música de manera que pueda extenderse o manipularse de forma más sencilla. No obstante, los músicos tienen aversión a eso porque piensan que se perdería algo esencial de la música, cuando sería lo contrario.

Está cercano el futuro en donde sea un lugar común que en una película o en un disco completo quizá solo exista un cantante de manera natural y el resto de la música que lo acompañe sea sintética, es decir por computadora. Ya hay un disco de jazz libre llamado Synthesis del doctor Guerino Mazzola, donde todo el acompañamiento es con computadora, él solo toca el piano; se lo mostró a especialistas de música de jazz y estos no se dieron cuenta de que no eran músicos quienes tocaban el acompañamiento. En Yale, Donya Quick creó un programa que genera frases musicales cortas imitando el estilo de Bach y ha engañado a algunos especialistas haciéndoles creer que las compusieron humanos.