¿Atascado en las matemáticas?. Cambia a la música, como Manjul Bhargava, Medalla Fields 2014

Por: Ágata A. Timón (ICMAT) // Congreso Internacional de Matemáticos-Seúl

Manjul Bhargava (1974, Canadá) se convirtió el pasado 13 de agosto en el primer matemático de origen indio que gana una medalla Fields. Criado y educado en EE UU, obtuvo su doctorado bajo la dirección de Andrew Willes, famoso por demostrar el último teorema de Fermat. Poco después, con 28 años, Bhargava se convirtió en el segundo catedrático más joven de la historia en Princeton. Allí enseña teoría de números a través de juegos de magia y música, su otra gran pasión. De hecho, toca la tabla, un instrumento de percusión hindú que también le ayuda a despejar su mente cuando se atasca con algún problema matemático. En los últimos años ha hecho importantes avances en soluciones de curvas elípticas, que intrigan a los expertos en teoría de números desde hace más de un siglo.

Ha obtenido la medalla Fields por el desarrollo de nuevos métodos de geometría de números. ¿En qué se centra su investigación?

De manera general, trato de contar el número de elementos de cierto tipo que hay en una región determinada. Por ejemplo, si tienes unas naranjas apiladas en forma de pirámide, ¿puedes saber, contando las que hay fuera, cuántas habrá en total? Si hay n naranjas en cada uno de los bordes de la pirámide, la respuesta es [n x (n+1) x (n+2)]/6. Cuando tenía 8 años di con la fórmula. No era un descubrimiento nuevo, pero era mi primer hallazgo matemático y fue muy emocionante. Además representaba el tipo de cuestiones que me plantearía en el futuro: entender el número de objetos de un tipo dado en ciertas formas del espacio.

¿En concreto, por qué desarrollos le han otorgado el premio?

Imagina que tienes una cuadrícula con puntos en el plano, de manera que en cada cuadrado de lado uno tienes un punto. Sobre esta cuadrícula trazas una forma circular, y quieres saber cuántos puntos quedan dentro de ella. La respuesta viene dada más o menos por el área de la forma circular. Así sucede con el número de naranjas en la pirámide, es más o menos el volumen de la pirámide. Es un principio general de la geometría de los números: en n dimensiones el número de puntos de una cuadrícula que quedan dentro de una región es más o menos el n-volumen de la región.

Y usted ha propuesto una generalización de este principio…

Sí. En muchos casos la región no está acotada, por ejemplo, puede ser una forma circular, que sí sabemos manejar, con un tentáculo infinito. Ahí no funcionaría el principio anterior. El tentáculo puede tener un volumen muy pequeño, pero si justo una de las líneas de la cuadrícula pasa por él, tendrá muchos puntos en esa región y el volumen de la región –casi cero– no será una buena estimación de los infinitos puntos. Por el contrario, podría suceder que aunque el tentáculo tuviera bastante volumen ningún punto cayera dentro del mismo, porque pasara entre las líneas de puntos de la cuadrícula; el volumen en este caso –muy grande, porque el tentáculo es infinito– no es una buena aproximación del número de puntos en la cuadrícula, que sería cero.

Estos son los tipos de espacios que aparecen en mi trabajo, en los que las ideas clásicas de la geometría de los números no funcionan. Gran parte consiste en entender qué sucede en esos tentáculos: ¿En qué circunstancia puede funcionar todavía el anterior principio de la geometría de los números? Yo he demostrado teoremas que dan condiciones bajo las cuales sigue siendo cierto, aunque tengas estos tentáculos.

¿Qué consecuencias tiene esto?

He demostrado muchas conjeturas abiertas de teoría clásica de números en lo que no se podía aplicar el principio clásico, pero si se puede aplicar este principio generalizado, y de esta manera dar con la solución.

Con resultados combinados también ha probado que en más del 60% de los casos se cumple la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer (BSD), uno de los problemas del Milenio, ¿en qué consiste esta conjetura?

Es una conjetura que predice si cierto tipo de ecuaciones –las curvas elípticas– tienen soluciones. Estas curvas son de la forma y^2 = x^3 + ax + b, con a y b números fijos y x e y variables. Para las ecuaciones cuadráticas sabemos determinar si tienen o no soluciones en los números racionales, de hecho, aprendemos mucho sobre ello en la escuela. Pero para las ecuaciones cúbicas no hay ningún algoritmo general que pueda decir si tiene soluciones o no, si son infinitas o finitas. La conjetura BSD ofrece un método de este tipo, pero no se sabe si es válido o no.

¿Cuál ha sido su contribución al problema?

El trabajo que hice junto a otros matemáticos prueba que el método funciona la mayoría de las veces. Si aplicas el procedimiento a una curva elíptica cualquiera, hay más de un 66% de posibilidades de que funcione. Antes de nuestro trabajo no se sabía si la probabilidad era más del 0%. Es un paso adelante bastante significativo, pero no significa que la conjetura esté resuelta, para eso necesitaríamos que funcionara el 100% del tiempo.

¿Tiene implicaciones en la vida real?

Estas ecuaciones son muy importantes en muchas cosas, en topología, en física, también son, ahora mismo, la base de uno de los métodos topológicos más utilizados. Pero la gran mayoría de las matemáticas en las que trabajo no están guiadas por las aplicaciones, y creo que la mayoría de los matemáticos teóricos dirían lo mismo: trabajamos en problemas con el propósito de avanzar el propio conocimiento matemático de la manera más emocionante y bella. Pero por otro lado, es también cierto que la gran mayoría de las matemáticas que se han aplicado con mayor éxito se descubrieron de esta manera.

La ciencia básica se guía por la creatividad de los científicos, no por su posible utilidad. Y cuando son totalmente libres para pensar, no hay constricciones, se obtienen ideas innovadoras, que terminarán siendo aplicadas. Es muy importante financiar la ciencia básica, porque es importante construir un repertorio de buenas ideas, y cuando la sociedad necesite herramientas, pueda recurrir a ellas.

Hay algunos aspectos de su investigación que tienen relación con el trabajo de Ramanujan, ¿se siente de alguna manera conectado a él?

Te refieres al Teorema 290, que probé con John H. Conway. Cuando era pequeño leí mucho sobre Ramanujan, y sí que significó mucho para mí trabajar en algo en lo que él también había trabajado. Disfruté de esa historia que estaba detrás, por la conexión hindú que hay entre los dos, y por la leyenda del personaje. Pero no escogí ese problema, ni en general, ninguno, basándome en quién haya trabajado en eso antes, sino porque conectaba conmigo y me divertía con él.

Usted es la primera persona con orígenes indios en ganar una medalla Fields, ¿qué influencias tienen estas raíces en su vida y su carrera?

Nací en Canadá, y crecí en Long Island (EE UU). Pero mis padres son emigrantes indios y me eduqué en una casa india. Manteníamos sus costumbres, siempre hemos hablado en hindú, muchos de los libros que leí eran en ese idioma y contaban las historias indias clásicas, comíamos comida india, yo estudié música clásica india. Además pasé mucho tiempo en el país, iba cada pocos años a visitar a mi abuelo durante largos periodos de tiempo. Allí empecé a tocar la tabla, estudié sánscrito, aprendí algunos dialectos locales… Por tanto gran parte de mi formación ha sido en India: en mi casa india, y en mis múltiples visitas al país. En ese sentido me identifico con los tres países: India, EE UU y Canadá.

¿Tiene alguna relación científica con India?

Sí. Visito India casi todos los años, soy un profesor asociado en el Tata Institute of Fundamental Research y también en el Indian Institute of Technology, ambos en Bombay, y en la Universidad de Hyderabad. Doy seminarios a los estudiantes allí, y hago investigación con mis colaboradores de estos centros de manera regular. También hago trabajos de voluntariado, dando clases a niños que viven en los suburbios. Conozco tanto lenguaje como la cultura india, por lo que me siento en una posición en la que puedo compartir el conocimiento que he adquirido en EE.UU. y difundirlo, contribuir a mejorar el sistema educativo de India. Intento hacerlo tanto como puedo.

Parece que allí un gran talento matemático, sin embargo, los grandes resultados se siguen haciendo en EE UU y Europa…

Sí, efectivamente. Yo creo que en India la educación preuniversitaria es muy buena, pero faltan centros universitarios y de investigación de alto nivel. Además, hace falta una apuesta por parte de los gobiernos y las administraciones para poder ofrecer puestos competitivos dentro de la comunidad científica internacional, que permitan atraer a grandes investigadores al país.

¿Qué influencia tuvo su madre, también matemática, en su carrera?

Siempre me han gustado las matemáticas, desde que yo recuerdo. Fue una suerte increíble tener a mi madre alrededor, porque cuando tenía preguntas matemáticas se las podía hacer directamente a ella, que me contestaba de manera entusiasta, o me animaba a buscar la solución por mí mismo, dándome pequeñas pistas. Nunca me metió presión, pero nunca me desanimó tampoco. Creo que a muchos de los chicos a los que les gustan las matemáticas son disuadidos de escogerlas como una carrera profesional. En mi caso, sabiendo que mi madre era una matemática, yo sabía que era posible serlo.

Aunque lo que realmente le debo es que siempre me animó a hacer lo que más me gustaba hacer. Me dejó tomar mis decisiones, llevándolo  a extremos a los que la mayoría de los padres no llegan: si una mañana le decía que no quería ir a la escuela, que prefería quedarme en casa jugando, o haciendo matemáticas, ella me dejaba. O si quería ir a India durante unos meses para visitar a mis abuelos, aunque estuviéramos en la mitad del curso escolar, también podía hacerlo. Funcionó muy bien conmigo.

¿Era la medalla Fields uno de sus grandes objetivos cuando era pequeño?

No, mi meta siempre fue aprender matemáticas, hacer progresos y disfrutar con ello. Nunca pensé en el premio, no sabía ni siquiera qué eran las medallas Fields hasta que ya estaba en la universidad. Hacer las matemáticas que llevaron a obtener esta medalla es mucho más emocionante que obtenerla. Estoy muy agradecido, claro, y espero que sea estímulo para que más gente en India haga investigación en matemáticas y ciencia básica.

Al tratar con temas técnicos y profundos debe encontrarse con grandes dificultades en su trabajo. ¿Cómo se sobrepone?

En mi caso, tengo más de un interés, lo que me ayuda a no frustrarme con ninguno. Me ha seguido interesando la música, toco la tabla. Si me quedo atascado con algo en matemáticas, cambio a la música, toco un rato, y muchas veces cuando regreso al problema las cosas parecen más claras. Y al revés: si no consigo sacar una composición, tengo los dedos cansados y no doy con el ritmo, hago matemáticas, y al volver al instrumento parece que es más sencillo.

Aunque claro, a veces te quedas atascado en algo y nunca sales de ahí. De hecho, sucede en la mayor parte del tiempo. Muchos de los problemas en los que trabajo son cuestiones muy duras y difíciles, en las que la gente ha pensado desde hace mucho tiempo, y habitualmente yo tampoco puedo resolverlos. Pruebas de diferentes maneras, y la gran mayoría fracasas. Hay que aceptar el fracaso y seguir adelante. No dejar que te desanime.

¿Qué relación tienen la música y la matemática en su vida?

Tanto la música como las matemáticas son muy artísticas, tratan de encontrar patrones, ajustándolos de manera bella, como una manera de expresarte a ti mismo. Pero además son dos partes muy complementarias de mi vida, y la una me sirve para reforzar la otra.

En sus clases utiliza la música y los trucos de magia para llamar la atención sobre las matemáticas que hay detrás, lo que se escapa de las clases tradicionales. ¿Qué opina del sistema universitario?

Es muy importante implicar a los chicos con las matemáticas a edades muy tempranas. El tipo de clase que a mí me gusta impartir permite que los estudiantes descubran las cosas por sí mismos mientras que se divierten. Muchos de los problemas matemáticos que planteo tienen relación con juegos de magia o música. Son cosas que hubieran disfrutado de todas maneras, pero mientras que lo hacen descubren cosas importantes de matemáticas. Realmente es una mejor representación del trabajo de los matemáticos que lo que se enseña en las clases de primeros cursos de cálculo, mucho más mecánicas.